PDF page 84
Рисунок 19.1. Геометрический и гармонический узлы доказательства.
19.1. Проблема исходной формулировки
В исходной публикационной версии гармоническая совместимость входит в определение 
конфигурации, а затем в теореме выводится равенство cr(A,C;B,D)=-1. Такая формулировка логически 
корректна как теорема распаковки определения, но не доказывает возникновение гармоничности из 
одной лишь дезарговой и полярной геометрии. Поэтому v196a разделяет три результата: существование 
оси, условное отождествление с осью Дезарга и критерий гармоничности.
19.2. Теорема существования центровой точки
Теорема 19.1. Пусть Π - проективная плоскость, p - фиксированная прямая, Φ1 и Φ2 - 
невырожденные коники, для которых p не является касательной, O и O′ - полюса p относительно Φ1 и 
Φ2, причём O≠O′ и OO′≠p. Тогда существует единственная точка D=OO′∩p.
Доказательство. Полярность невырожденной коники однозначно сопоставляет прямой p её полюс. 
Различные точки O,O′ задают единственную прямую OO′. Две различные прямые OO′ и p в 
проективной плоскости имеют единственную точку пересечения D.
19.3. Условная теорема дезарговой идентификации
Теорема 19.2. В условиях теоремы 19.1 предположим, что существует пара треугольников, 
перспективных из точки, и что их ось перспективности d_Des совпадает с OO′. Тогда D является следом 
оси Дезарга на p: D=d_Des∩p.
Это утверждение не выводит совпадение d_Des=OO′, а явно фиксирует его как мостовое условие. В 
будущей сильной версии требуется дать конструкцию треугольников из двух конусов или коник и 
доказать это совпадение из более примитивных гипотез.
19.4. Координатный критерий гармоничности
Выберем проективную координату t на p так, чтобы A
a, B
b, C
c, D
d. Тогда D гармонически 
↦
↦
↦
↦
сопряжена B относительно A,C тогда и только тогда, когда
(a,c;b,d) = ((b-a)(d-c))/((b-c)(d-a)) = -1.
После приведения к общему знаменателю получаем эквивалентное линейно-дробное условие
d = ((a+c)b - 2ac)/(2b-a-c),   если 2b-a-c ≠ 0.
БАЗОВЫЙ ПРОЕКТ KLT-RBD · ТОМ I
v197 RU
Курпишев Иван Борисович · Калининград · 2026
79


PDF page 85
В вырожденном случае 2b-a-c=0 гармонически сопряжённая точка является точкой бесконечности 
выбранной аффинной карты. Эта формула позволяет проверять гармоничность независимо от 
словесного определения.
19.5. Усиленная условная теорема Дезарга-Курпишева
Теорема 19.3 (усиленная условная форма). Пусть выполнены условия теорем 19.1-19.2. Пусть 
координаты A,B,C и точка D=OO′∩p удовлетворяют приведённому координатному критерию. Тогда D 
является единственной гармонически сопряжённой точкой H_{A,C}(B), и
axis(centres) = d_Des,  D=d_Des∩p,  cr(A,C;B,D)=-1.
Доказательство. Первое равенство следует из мостового условия; существование и единственность 
D - из теоремы 19.1; равенство cross-ratio - из координатного критерия; единственность гармонически 
сопряжённой точки следует из единственности решения соответствующего линейно-дробного 
уравнения.
19.6. Что остаётся открытым

Построить каноническую пару треугольников непосредственно из двух центральных коник или 
двух проектирующих конусов.

Вывести d_Des=OO′, а не включать это равенство в мостовые условия.

Определить минимальные невырожденные гипотезы и обработать случаи касания, совпадения 
центров и OO′=p.

Сформулировать комплексную и матричную версии полярности и гармонического критерия.

Проверить независимость результата от выбора аффинной карты и дать синтетическое 
доказательство сильной версии.
19.7. Доказательный паспорт DK-v196a
Поле
Значение
Классический слой
полярность коники, теорема Дезарга, harmonic cross-ratio
Авторская связка
две коники -> полярные центры -> центровая ось -> Reper/D-
Dom
Доказано
существование D; координатный критерий; условная 
композиция
Условно
совпадение оси Дезарга и центровой оси
Открыто
канонический вывод совпадения осей из геометрии двух коник
truth-status
не повышается за пределы формально доказанных пунктов
БАЗОВЫЙ ПРОЕКТ KLT-RBD · ТОМ I
v197 RU
Курпишев Иван Борисович · Калининград · 2026
80


PDF page 86
19.8. Однородный критерий гармоничности
Пусть a,c,b,d K² — ненулевые представители точек A,C,B,D на P¹(K), а [x,y]=det(x,y). При 
∈
ненулевых знаменателях
cr(A,C;B,D)=([b,a][d,c])/([b,c][d,a]).
Теорема 19.4. Условие cr(A,C;B,D)=−1 эквивалентно однородному равенству [b,a][d,c]+[b,c][d,a]=0 
и не зависит от масштабирования представителей.
Доказательство. Умножаем равенство cross-ratio=−1 на ненулевой знаменатель. При 
масштабировании каждой точки оба слагаемых получают один и тот же общий множитель, поэтому 
нулевое равенство сохраняется. □
19.9. Контрмодель автоматической гармоничности
В аффинной карте возьмём A=0, C=1, B=2. Единственная гармоническая точка равна 2/3. Точка 
D₀=3 даёт cr(0,1;2,3)=4/3. Следовательно, любой полярно-дезаргов узел, след которого равен D₀, 
удовлетворяет инцидентностной части, но не гармоническому заключению.
Вывод. Для сильной теоремы требуется доказать, что конструктивно полученный след D_pol 
удовлетворяет однородному равенству теоремы 19.4; это и есть центральное незакрытое обязательство 
DK-PO-2.
19.10. Граф зависимостей доказательства
DK-0: field/plane/polarity → DK-1: poles O₁,O₂ → DK-2: centre line c → DK-3: trace D_pol → DK-4: 
Desargues triangle pair → DK-5: proof d_Des=c → DK-6: homogeneous harmonic criterion → DK-7: 
D_pol=D_harm. Повышение статуса разрешено только по этой последовательности либо по 
эквивалентному полностью документированному пути.
Теорема 19.5 (монотонность DK-статуса). Редакционное преобразование, не закрывающее нового 
узла DK-0…DK-7, не повышает доказательный статус теоремы.
Доказательство. Статус определяется максимальным префиксом закрытых зависимостей. 
Переформатирование не меняет множество доказанных узлов. □
19.11. Канонический вердикт v196i4
Доказано: существование полярного следа при невырожденности; координатный и однородный 
критерии гармоничности; условное отождествление с дезарговой осью; единственность гармонического 
дополнения. Не доказано без мостовых гипотез: каноническое построение пары треугольников из двух 
коник и вывод d_Des=O₁O₂; автоматическое возникновение гармоничности.
Поэтому публикационное название результата должно содержать указание «условная проективно-
гармоническая форма» до закрытия DK-PO-1 и DK-PO-2.
19.12. DK-CERT-v196i4
Поля: theorem-version, K/char, projective plane, conic matrices, line p, poles, centre line, trace, triangle 
construction, Desargues hypotheses, bridge proof, homogeneous coordinates, determinant convention, 
harmonic identity, degeneracy cases, Dom, D, countermodel, proof-object, blockers и status.
Философско-феноменологическая вставка. Доказательная очистка не обедняет теорему: она 
отделяет уже пройденный путь от ещё желаемого. Благодаря этому открытая часть перестаёт 
быть скрытым недостатком и становится точной программой дальнейшего доказательства.
Источники главы 19: desargues_kurpishev_theorem_ru_source; chapter 9 of this volume; Mandelkern, 
arXiv:2404.16979; projective-polarity source corpus.
БАЗОВЫЙ ПРОЕКТ KLT-RBD · ТОМ I
v197 RU
Курпишев Иван Борисович · Калининград · 2026
81
