% Options for packages loaded elsewhere \PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref} \PassOptionsToPackage{hyphens}{url} % \documentclass[ 11pt, ]{article} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{iftex} \ifPDFTeX \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols \else % if luatex or xetex \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase} \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1} \fi \usepackage{lmodern} \ifPDFTeX\else % xetex/luatex font selection \setmainfont[]{DejaVu Serif} \setsansfont[]{DejaVu Sans} \fi % Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments \IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{} \IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available \usepackage[]{microtype} \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts }{} \makeatletter \@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class \IfFileExists{parskip.sty}{% \usepackage{parskip} }{% else \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}} }{% if KOMA class \KOMAoptions{parskip=half}} \makeatother \usepackage{xcolor} \usepackage[margin=1in]{geometry} \usepackage{longtable,booktabs,array} \usepackage{calc} % for calculating minipage widths % Correct order of tables after \paragraph or \subparagraph \usepackage{etoolbox} \makeatletter \patchcmd\longtable{\par}{\if@noskipsec\mbox{}\fi\par}{}{} \makeatother % Allow footnotes in longtable head/foot \IfFileExists{footnotehyper.sty}{\usepackage{footnotehyper}}{\usepackage{footnote}} \makesavenoteenv{longtable} \setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines \providecommand{\tightlist}{% \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}} \setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering \ifLuaTeX \usepackage[bidi=basic]{babel} \else \usepackage[bidi=default]{babel} \fi \babelprovide[main,import]{russian} \ifPDFTeX \else \babelfont{rm}[]{DejaVu Serif} \fi % get rid of language-specific shorthands (see #6817): \let\LanguageShortHands\languageshorthands \def\languageshorthands#1{} \ifLuaTeX \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures \fi \usepackage{bookmark} \IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available \urlstyle{same} \hypersetup{ pdftitle={Спектральная геометрия KASVD и семимерные антикоммутативные алгебры}, pdfauthor={Иван Борисович Курпишев}, pdflang={ru-RU}, hidelinks, pdfcreator={LaTeX via pandoc}} \title{Спектральная геометрия KASVD и семимерные антикоммутативные алгебры} \usepackage{etoolbox} \makeatletter \providecommand{\subtitle}[1]{% add subtitle to \maketitle \apptocmd{\@title}{\par {\large #1 \par}}{}{} } \makeatother \subtitle{Матричный мост для реперных артефактов KLT-RBD} \author{Иван Борисович Курпишев} \date{Калининград, 2026} \begin{document} \maketitle \section{Аннотация}\label{ux430ux43dux43dux43eux442ux430ux446ux438ux44f} Строится строгий математический слой, связывающий конечный типизированный граф реперного артефакта с матрицей \(M\in M_3(\mathbb R)\), ее сингулярным спектром и стратифицированным пространством состояний KASVD. Параллельно рассматривается семимерная антикоммутативная алгебра \[ A_M=\mathbb R^3\oplus\mathbb R^3\oplus\mathbb Rh, \] в которой та же матрица \(M\) задает смешанный центральный билинейный блок. Доказываются инвариантность нормализованного SVD-паспорта, rank-gap утверждение, критерий рождения ранга при rank-one обновлении, точное rank-one edit distance, формула размерности алгебры дериваций, а также жесткость относительно классов Binary-Lie, Malcev и Sagle: \[ A_M\in\mathrm{BinaryLie}\iff A_M\in\mathrm{Malcev}\iff A_M\in\mathrm{Sagle}\iff M=0. \] Вводится авторский вариационный функционал Курпишева на безопасной спектральной области. Отдельно формулируется математическая граница между доказанным спектрально-алгебраическим слоем и prospective/blind инфраструктурой KLT-RBD. Эмпирическая предсказательная валидация в данной статье не заявляется. \textbf{Ключевые слова:} KASVD; KLT-RBD; Reper; сингулярное разложение; антикоммутативная алгебра; Binary-Lie; Malcev; Sagle; rank-one perturbation; вариационный принцип. \textbf{MSC 2020:} 17A30, 15A18, 15A60, 65F35. \section{1. Введение}\label{ux432ux432ux435ux434ux435ux43dux438ux435} В проекте ``ЛОГИКА КУРПИШЕВА 2'' реперный объект записывается как \(\operatorname{Rep}=(R,I,U;D)\), а KLT-RBD используется как машинно-проверяемая память источников, оснований, переходов, блокеров и статусов. Настоящая статья выделяет из этого корпуса самостоятельную математическую задачу: построить небольшой матричный носитель структуры, на котором можно строго различать ранг, спектральную симметрию, устойчивость к возмущениям и допустимые элементарные переходы. Центральный объект статьи - матрица \(M\in M_3(\mathbb R)\). Она возникает двумя независимыми способами. Во-первых, как оператор, собранный из типизированных ребер конечного Artifact-графа. Во-вторых, как смешанный билинейный блок семимерной антикоммутативной алгебры \(A_M\). Эти два уровня не отождествляются семантически. Их математическая связь состоит в общем SVD-инварианте. Классическая часть статьи опирается на сингулярное разложение, теорему Эккарта-Янга-Мирского, стандартные оценки возмущений сингулярных чисел и известные определения классов Binary-Lie, Malcev и Sagle {[}1-6{]}. Авторская часть - Artifact-to-KASVD construction, KASVD state stratification и автомат переходов, применение одной матрицы \(M\) как связующего модуля для Artifact-оператора и \(A_M\), а также вариационный функционал \(\mathcal J_K\). \section{2. Artifact-оператор и KASVD}\label{artifact-ux43eux43fux435ux440ux430ux442ux43eux440-ux438-kasvd} \subsection{Определение 2.1. Матрица артефакта}\label{ux43eux43fux440ux435ux434ux435ux43bux435ux43dux438ux435-2.1.-ux43cux430ux442ux440ux438ux446ux430-ux430ux440ux442ux435ux444ux430ux43aux442ux430} Пусть \(G_A=(V_A,E_A,\tau,w)\) - конечный типизированный взвешенный граф. Фиксируем ортонормированные трехмерные пространства \[ X=\operatorname{span}\{R,I,U\},\qquad Y=\operatorname{span}\{D,P,G\}. \] Здесь \(P\) и \(G\) являются аналитическими каналами proof/evidence и gap/blocker и не объявляются дополнительными компонентами Reper. Каждому ребру \(e\) сопоставим \(x_e\in X\), \(y_e\in Y\) и вес \(w(e)\). Определим \[ T_A=\sum_{e\in E_A}w(e)x_e\otimes y_e, \qquad M_A=[T_A]=\sum_{e\in E_A}w(e)x_e y_e^T. \] \subsection{Определение 2.2. KASVD-паспорт}\label{ux43eux43fux440ux435ux434ux435ux43bux435ux43dux438ux435-2.2.-kasvd-ux43fux430ux441ux43fux43eux440ux442} Пусть \(M\neq0\) и \[ \sigma_1(M)\ge\sigma_2(M)\ge\sigma_3(M)\ge0 \] Эти величины являются его сингулярными числами. Положим \[ \rho(M)=\|M\|_F, \qquad s_2=\frac{\sigma_2}{\sigma_1}, \qquad s_3=\frac{\sigma_3}{\sigma_1}. \] Тройку \[ \operatorname{SpecRep}(M)=(\rho;s_2,s_3) \] назовем спектральным паспортом, а \((s_2,s_3)\) - KASVD-точкой. Она лежит в замкнутом треугольнике \[ 0\le s_3\le s_2\le1. \] \subsection{Предложение 2.3. Инвариантность формы}\label{ux43fux440ux435ux434ux43bux43eux436ux435ux43dux438ux435-2.3.-ux438ux43dux432ux430ux440ux438ux430ux43dux442ux43dux43eux441ux442ux44c-ux444ux43eux440ux43cux44b} При преобразовании \[ M\mapsto cAMB^T, \qquad A,B\in O(3),\quad c\neq0, \] KASVD-точка \((s_2,s_3)\) сохраняется, а \(\rho\) умножается на \(|c|\). \textbf{Доказательство.} Ортогональные множители не меняют сингулярные числа, а умножение на \(c\) умножает все сингулярные числа на \(|c|\). Отношения к \(\sigma_1\) неизменны. \(\square\) \subsection{Теорема 2.4. Rank-gap}\label{ux442ux435ux43eux440ux435ux43cux430-2.4.-rank-gap} Если активные ребра Artifact-графа используют не более двух независимых входных направлений в \(X\) или не более двух независимых выходных направлений в \(Y\), то \[ \operatorname{rank}M_A\le2, \qquad \sigma_3(M_A)=0. \] \textbf{Доказательство.} В первом случае область существенного действия \(T_A\) имеет размерность не более двух; во втором случае образ \(T_A\) лежит в подпространстве размерности не более двух. В обоих случаях ранг не превосходит двух. \(\square\) Обратное утверждение неверно: \(\sigma_3=0\) может возникать из линейной зависимости или компенсации весов. Поэтому semantic gap, structural gap и spectral gap должны храниться отдельно. \section{3. Rank-one динамика}\label{rank-one-ux434ux438ux43dux430ux43cux438ux43aux430} Пусть \[ M'=M+E, \qquad E=\alpha xy^T, \] так что \(\operatorname{rank}E\le1\). \subsection{Теорема 3.1. Критерий рождения ранга}\label{ux442ux435ux43eux440ux435ux43cux430-3.1.-ux43aux440ux438ux442ux435ux440ux438ux439-ux440ux43eux436ux434ux435ux43dux438ux44f-ux440ux430ux43dux433ux430} Пусть \(\operatorname{rank}M=2\), единичные векторы \(\ell\) и \(r\) порождают соответственно \(\ker M^T\) и \(\ker M\). Тогда \[ \operatorname{rank}(M+\alpha xy^T)=3 \] тогда и только тогда, когда \[ \alpha\neq0, \qquad \ell^Tx\neq0, \qquad y^Tr\neq0. \] \textbf{Доказательство.} Rank-one обновление увеличивает ранг матрицы ранга два ровно тогда, когда новое левое направление не принадлежит \(\operatorname{Col}M\), а новое правое направление не принадлежит \(\operatorname{Row}M\). Для коразмерности один эти условия эквивалентны указанным ненулевым скалярным произведениям. \(\square\) \subsection{Теорема 3.2. Ограничение на изменение ранга}\label{ux442ux435ux43eux440ux435ux43cux430-3.2.-ux43eux433ux440ux430ux43dux438ux447ux435ux43dux438ux435-ux43dux430-ux438ux437ux43cux435ux43dux435ux43dux438ux435-ux440ux430ux43dux433ux430} Для rank-one обновления \[ \left|\operatorname{rank}(M+E)-\operatorname{rank}M\right|\le1. \] Следовательно один elementary edge update не может перевести rank-one состояние непосредственно в rank-three состояние. \subsection{Теорема 3.3. Точное rank-one edit distance}\label{ux442ux435ux43eux440ux435ux43cux430-3.3.-ux442ux43eux447ux43dux43eux435-rank-one-edit-distance} Минимальное число rank-one слагаемых, необходимое для перехода от фиксированной матрицы \(M\) к фиксированной матрице \(N\), равно \[ \boxed{d_1(M,N)=\operatorname{rank}(N-M).} \] \textbf{Доказательство.} Сумма \(k\) rank-one матриц имеет ранг не более \(k\), откуда \(k\ge\operatorname{rank}(N-M)\). С другой стороны, SVD матрицы \(N-M\) разлагает ее в сумму ровно \(r=\operatorname{rank}(N-M)\) rank-one слагаемых. \(\square\) \section{4. KASVD-стратификация и смежность}\label{kasvd-ux441ux442ux440ux430ux442ux438ux444ux438ux43aux430ux446ux438ux44f-ux438-ux441ux43cux435ux436ux43dux43eux441ux442ux44c} Для ненулевой \(3\times3\) матрицы рассматриваются семь страт: \[ S_1, S_{2g},S_{2e}, S_{3g},S_{3,12},S_{3,23},S_{3i}, \] где индекс задает ранг, \(g\) означает попарно различные положительные сингулярные числа, \(e\) - равенство двух положительных сингулярных чисел при rank two, а \(12\), \(23\), \(i\) - соответствующие кратности в rank three. \subsection{Теорема 4.1. Экзистенциальная rank-one смежность}\label{ux442ux435ux43eux440ux435ux43cux430-4.1.-ux44dux43aux437ux438ux441ux442ux435ux43dux446ux438ux430ux43bux44cux43dux430ux44f-rank-one-ux441ux43cux435ux436ux43dux43eux441ux442ux44c} Для двух KASVD-страт существует хотя бы одна пара представителей \(M\in S_\alpha\), \(N\in S_\beta\) с \[ \operatorname{rank}(N-M)\le1 \] тогда и только тогда, когда \[ \left|\operatorname{rank}S_\alpha-\operatorname{rank}S_\beta\right|\le1. \] \textbf{Доказательство.} Необходимость следует из стандартного неравенства рангов. Для достаточности по рангам 1-2 используются диагональные представители \(\operatorname{diag}(a,0,0)\) и \(\operatorname{diag}(a,b,0)\), включая \(a=b\) при необходимости. Для переходов 2-3 диагональные представители закрывают generic и double strata; переход \(S_{2g}\to S_{3i}\) реализуется, например, как \(I-uv^T\to I\) при \(u=e_1\), \(v=e_1+e_2\), причем \(I-uv^T\) имеет сингулярные числа \((\sqrt2,1,0)\). Внутри rank-three блока прямые rank-one примеры получают изменением одной диагональной координаты; переход \(S_{3i}\to S_{3g}\) реализуется матрицей \(I+e_1(e_1+e_2)^T\), имеющей три различные сингулярные величины. Обратные стрелки получаются заменой \(E\) на \(-E\). \(\square\) Теорема является утверждением о существовании представителей. Для конкретных \(M\) и \(N\) правильным критерием остается \(d_1(M,N)=\operatorname{rank}(N-M)\). \section{5. Спектральная устойчивость}\label{ux441ux43fux435ux43aux442ux440ux430ux43bux44cux43dux430ux44f-ux443ux441ux442ux43eux439ux447ux438ux432ux43eux441ux442ux44c} Для возмущения \(M'=M+E\) стандартная оценка сингулярных чисел дает {[}3,4{]} \[ |\sigma_k(M')-\sigma_k(M)|\le\|E\|_2. \] В generic full-rank страте положим \[ m_R=\sigma_3, \qquad m_{12}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}, \qquad m_{23}=\frac{\sigma_2-\sigma_3}{2}, \] и \[ \boxed{r_{\mathrm{safe}}(M)=\min\{m_R,m_{12},m_{23}\}.} \] \subsection{Следствие 5.1. Safe-radius гарантия}\label{ux441ux43bux435ux434ux441ux442ux432ux438ux435-5.1.-safe-radius-ux433ux430ux440ux430ux43dux442ux438ux44f} Если \[ \|E\|_2\sigma_2>\sigma_3>0\} \] введем \[ V_K(M)= -\alpha_R\log m_R -\alpha_{12}\log m_{12} -\alpha_{23}\log m_{23}, \qquad \alpha_i>0, \] и авторский математический вариационный функционал Курпишева \[ \boxed{ \mathcal J_K[M] = \int_{t_0}^{t_1} \left( \frac12\|\dot M\|_F^2+V_K(M) \right)dt. } \] Для простых сингулярных чисел \(\nabla\sigma_i=u_iv_i^T\), поэтому внутри regular stratum формальное уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид \[ \ddot M=\nabla_FV_K(M). \] \subsection{Предложение 10.1. Корректная existence-постановка}\label{ux43fux440ux435ux434ux43bux43eux436ux435ux43dux438ux435-10.1.-ux43aux43eux440ux440ux435ux43aux442ux43dux430ux44f-existence-ux43fux43eux441ux442ux430ux43dux43eux432ux43aux430} Сам логарифмический барьер не коэрцитивен на неограниченном пространстве матриц. Однако на компактной безопасной области \[ \Omega_\delta = \{M:\|M\|_F=1,\ m_R,m_{12},m_{23}\ge\delta\} \] конечномерный дискретный fixed-endpoint функционал достигает минимума, если множество допустимых траекторий непусто. \textbf{Доказательство.} \(\Omega_\delta\) компактно, конечное произведение его копий компактно, допустимое fixed-endpoint множество замкнуто, а дискретный функционал непрерывен. Применяется теорема Вейерштрасса. \(\square\) \section{11. Prospective certificate и граница эмпирических утверждений}\label{prospective-certificate-ux438-ux433ux440ux430ux43dux438ux446ux430-ux44dux43cux43fux438ux440ux438ux447ux435ux441ux43aux438ux445-ux443ux442ux432ux435ux440ux436ux434ux435ux43dux438ux439} Для KLT-RBD был построен вычислительный контур \[ \text{Source} \to\text{Intake} \to\text{Evidence-D} \to G_t \to M_t \to\operatorname{SVD} \to\text{Transition} \to\text{Certificate}\vee\text{ABSTAIN}. \] Append-only ledger, hash-bound materialization, blind split и scoring protocol обеспечивают воспроизводимость вычисления, но не являются доказательством предсказательной силы. Synthetic tests в проекте используются как проверка исполнимости модели, а не как замена real holdout. В момент подготовки статьи real prospective validation не выполнена; поэтому все эмпирические claims остаются за пределами доказанного слоя. \section{12. Новизна и ограничения}\label{ux43dux43eux432ux438ux437ux43dux430-ux438-ux43eux433ux440ux430ux43dux438ux447ux435ux43dux438ux44f} Классическими и не заявляемыми как авторская новизна являются SVD, rank inequalities, Eckart-Young-Mirsky, стандартные perturbation bounds, свойства Lie/Malcev/Binary-Lie/Sagle и компактностные аргументы. К авторской математической конструкции И.Б. Курпишева в данной статье относятся: \begin{enumerate} \def\labelenumi{\arabic{enumi}.} \tightlist \item отображение конечного реперного Artifact-графа в трехканальный оператор \(M_A\) и KASVD-паспорт; \item KASVD-стратификация как слой состояния KLT-RBD и ее operational rank-one interpretation; \item использование одной матрицы \(M\) как общего модуля Artifact-оператора и семейства \(A_M\); \item явные rigidity theorems для семейства \(A_M\), включая девять Binary-Lie и девять Sagle witnesses; \item weighted KASVD и функционал \(\mathcal J_K\); \item принцип строгого разделения computed certificate и truth-status. \end{enumerate} Открытыми остаются полный isomorphism group \(A_M\) с дискретными компонентами, глобальная геометрия KASVD-модулей около кратных сингулярных значений и независимая реальная проверка prospective prediction layer. \section{13. Заключение}\label{ux437ux430ux43aux43bux44eux447ux435ux43dux438ux435} Получен единый строгий матричный слой, в котором одна и та же \(3\times3\) матрица несет две разные структуры: спектральное состояние реперного Artifact-оператора и смешанный центральный блок семимерной антикоммутативной алгебры. SVD-отношения \((s_2,s_3)\) образуют общий инвариант этих конструкций. Для алгебраического семейства доказана жесткость: любой ненулевой \(M\) выводит \(A_M\) одновременно из классов Binary-Lie, Malcev и Sagle. Для Artifact-слоя получены точные rank-one расстояния и безопасные спектральные пороги. Вариационный слой задает математическую модель траекторий, но его эмпирическая интерпретация остается отдельной задачей prospective verification. \section{Приложение A. Девять Binary-Lie witnesses}\label{ux43fux440ux438ux43bux43eux436ux435ux43dux438ux435-a.-ux434ux435ux432ux44fux442ux44c-binary-lie-witnesses} Для \(i,j\in\{1,2,3\}\) выбирается любой \(k\neq j\) и \[ x=f_k,\qquad y=e_i-f_j. \] Тогда \[ J(x,y,[x,y])=M_{ij}h. \] Например, можно фиксировать \(k(1)=2\), \(k(2)=3\), \(k(3)=2\); это дает девять детерминированных проверок всех элементов \(M\). \section{Приложение B. Девять Sagle witnesses}\label{ux43fux440ux438ux43bux43eux436ux435ux43dux438ux435-b.-ux434ux435ux432ux44fux442ux44c-sagle-witnesses} Обозначим через \(\mathcal S(x,y,z,w)\) левую часть Sagle identity, перенесенную в одну сторону. Девять указанных в теореме 8.3 четверок из стандартного базиса дают соответственно \[ M_{11},M_{12},M_{13},-M_{21},-M_{22},-M_{23},-M_{31},M_{32},-M_{33} \] в центральной координате \(h\). Поэтому Sagle identity уничтожает каждую координату \(M\) отдельно. \section{Литература}\label{ux43bux438ux442ux435ux440ux430ux442ux443ux440ux430} \begin{enumerate} \def\labelenumi{\arabic{enumi}.} \tightlist \item Kaygorodov, I.; Zusmanovich, P. On anticommutative algebras for which \([R_a,R_b]\) is a derivation. \emph{Journal of Geometry and Physics} \textbf{166} (2021), 104113. DOI: 10.1016/j.geomphys.2021.104113. \item Sagle, A. A. On simple extended Lie algebras over fields of characteristic zero. \emph{Pacific Journal of Mathematics} \textbf{15}(2) (1965), 621-648. \item Stewart, G. W.; Sun, J.-G. \emph{Matrix Perturbation Theory}. Academic Press, 1990. \item Horn, R. A.; Johnson, C. R. \emph{Topics in Matrix Analysis}. Cambridge University Press, 1991. \item Eckart, C.; Young, G. The approximation of one matrix by another of lower rank. \emph{Psychometrika} \textbf{1} (1936), 211-218. \item Mirsky, L. Symmetric gauge functions and unitarily invariant norms. \emph{Quarterly Journal of Mathematics} \textbf{11} (1960), 50-59. \item Kurpishev, I. B. \emph{Basic Project KLT-RBD, Volume V: typed graph, provenance, versioning and audit mathematics}. Project corpus, 2026. \item Kurpishev, I. B. \emph{R3-Y Theorematic Consolidation and R4-A/R4-B Rigidity Packages}. LOGIC KURPISHEVA 2 project corpus, 2026. \end{enumerate} \end{document}